Dokaz, ki zahteva aksiom izbire, lahko vzpostavi obstoj nekega objekta, ne da bi ta objekt bil eksplicitno definiran v jeziku teorije množic. Na primer, čeprav aksiom izbire implicira, da obstaja dobro urejanje realnih števil, obstajajo modeli teorije množic z aksiomom izbire, v katerih nobeno posameznega dobrega urejanja realnih števil ni možno definirati. Podobno lahko z uporabo aksioma izbire dokažemo obstoj podmnožice realnih števil, ki ni Lebesgue merljiva, vendar je konsistentno, da nobene take množice ni možno definirati.
Aksiom izbire trdi obstoj takih nedosegljivih objektov (objektov, za katere se dokaže, da obstajajo, vendar jih ni mogoče eksplicitno konstruirati), kar je lahko v nasprotju z nekaterimi filozofskimi načeli. Ker ne obstaja kanoničnega dobrega urejanja vseh množic, lahko konstrukcija, ki se opira na dobro urejanje, ne privede do kanoničnega rezultata, tudi če si takega rezultata želimo (kot je pogosto v teoriji kategorij). To je bilo uporabljeno kot argument proti uporabi aksioma izbire.
Še en argument proti aksiomu izbire je, da implicira obstoj objektov, ki se lahko zdijo protislovni ali neintuitivni. Primer tega je Banach–Tarskijev paradoks, ki pravi, da je mogoče 3-dimenzionalno enotsko kroglo razstaviti na končno mnogo delov in nato te dele, s pomočjo zgolj rotacij in translacij, sestaviti nazaj v dve krogli, vsaka z enakim volumnom kot izvirna. Deli v tej razstavitvi, ki so konstruirani z uporabo aksioma izbire, so nemerljive množice.
Stefan Banach